Интегрированный урок математика + информатика по теме Решение задач практической направленности при подготовке к ГИА и ЕГЭ

  • Васильева Екатерина Андреевна, учитель математики
  • Смольская Светлана Алексеевна, учитель математики

Цели:

  1. решение задач практической направленности при подготовке к ГИА и ЕГЭ,
  2. применение математики в других областях (экономике)- транспортная задача, для адаптации к современным потребностям в работе офисных менеджеров, логистов,
  3. развитие навыка оптимизации данных, полученных в результате вычислений
  4. знакомство с программой SOLVER и работой в MS EXCEL
  5. освоение культуры математической речи, оформление решения текстовых задач, представленных табличными данными

Задачи урока:

  1. решить транспортную задачу различными способами, используя методы линейного программирования,
  2. учиться работать с таблицами в MS EXCEL

Оборудование: раздаточный материал для работы с таблицами в он-лайн программе и для работы с программой MS EXCEL, проектор, компьютеры для учащихся

Ход урока

1. Организационный момент:

1) Назвать тему урока и цели урока.

2) Оптимизационные модели широко используются в экономике и технике. Среди них задачи подбора сбалансированного рациона питания, оптимизации ассортимента продукции, транспортная задача и другие.

Модели всех задач на оптимизацию состоят из следующих элементов:

  1. Переменные — неизвестные величины, которые нужно найти при решении задачи.
  2. Целевая функция — величина, которая зависит от переменных и является целью, ключевым показателем эффективности или оптимальности модели.
  3. Ограничения — условия, которым должны удовлетворять переменные.

3)Дать определение: в словарях слово «таблица» означает – перечень сведений цифровых данных, расположенных по графам в определенном порядке, т. е. приведенных в определенную систему.

Тема нашего урока: «Решение задач практической направленности», одной из таких является транспортная задача.

Транспортная задача ( классическая) – задача об оптимальном плане перевозок некоторого однородного продукта из пунктов наличия (склады) в пункты потребления (магазины).

Сегодня мы будем учиться работать с табличными данными, при этом стараться результаты своих вычислений оптимизировать, т.е. выбирать наименьшие затраты для реализации товара.

2. Устная работа:

1) Найти стоимость товара, купленного в размере 9 м3, если цена 30 тыс.рублей.

(Ответ: 30 * 9 = 270 тыс.руб)

2) Найти стоимость всей покупки с учётом её доставки, если каждого наименования фирма закупила в количестве двух штук:

цена

доставка

принтеры

5200 руб.

1000 руб.

мониторы

4300 руб.

(Ответ: 5200 * 2 + 4300 * 2 + 1000 = 2 (5200 + 4300) + 1000 = 20000 руб.)

3) Сравнить, какая из фирм получит наименьшие затраты при закупке товара с учётом доставки:

количество

цена

доставка

Фирма 1

10 шт.

12500

1500

Фирма 2

10 шт.

13000

950

(Ответ:

Фирма 1,т.к. она затратит 12500 * 10 + 1500 = 126500,
Фирма 2 затратит 13000 * 10 + 950 = 130950)

Вопросы: От чего зависят затраты фирмы? (Ответ: от цены и доставки)

Что значит оптимальные затраты (минимальные)

3. Письменные упражнения

1) Задача, которая требует выбора оптимального решения. Двое решают, как им обойдётся дешевле доехать из Москвы в Санкт-Петербург — на поезде или в автомобиле. Билет на поезд стоит 630 рублей на одного человека. Автомобиль расходует 11 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 километрам, а цена бензина равна 19,5 рублям за литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на двоих?

Решение:

  1. 630 * 2 = 1260(р.) – на поезде
  2. 700 : 100 * 11 = 77(л) – бензина на весь путь
  3. 77 * 19,5 = 1501,5 (рублей) – на весь путь на машине
  4. 1501,5 рублей > 1260 рублей

Ответ: 1260 рублей необходимо заплатить за самую дешёвую поездку.

2) Транспортная задача. Есть два склада и два магазина, реализующих товар, хранящийся на этих складах. В таблице указана стоимость перевозки и количественная потребность в продаже товара через магазины. Найти минимальную стоимость затрат на доставку всей необходимой продукции в магазины.

Давайте разберемся, что здесь является переменными, что целевой функцией, что ограничениями.

Найти нам необходимо оптимальные затраты на перевозку товара. Перевозить мы можем из двух складов по двум магазинам. Вот и получается, что нам необходимо определить количество перевозимого товара из каждого склада в каждый из магазинов. Это и будут наши переменные.

По какому принципу их подбирать, что считать эффективным, что нет. Перед нами поставлена задача получить минимальные затраты. Таким образом, цель – минимальные затраты на грузоперевозку.

Магазин 1

Магазин 2

Запас

Склад 1

4 д.е.

6 д.е.

10 ТВ

Склад 2

3 д.е.

7 д.е.

7 ТВ

потребность

8 телевизоров

9 телевизоров

Решение: 3 * 7 + 4 * 1 + 6 * 9 = 79 (д.е.)

Вопросы после решения задачи:

1) Какие характеристики должны быть указаны при решении транспортной задачи (ответ: стоимость доставки, количественная потребность в товаре для каждого потребителя (магазина) и количество товара, хранящегося на складах города или региона)

2) Как вы думаете, при каких условиях данная задача имеет смысл, т.е. о каких ограничениях в задаче может идти речь.

(Ответ: потребность в товаре не должна превосходить его запас, переменные должны быть неотрицательными.)

Эту же задачу можно решить с помощью линейного программирования, используя интернет-ресурсы.

IV.

1) Работа в онлайне (работа за компьютером по ссылке)

http://www.reshmat.ru/transport.html?c11=4&c12=6&z1=10&c21=3&c22=7&z2=10&b1=7&b2=13&method=MinElement&comments=With_%D1omments&step=2&sizeA=2&sizeB=2&Cod_Without_Money=&cod

2) Работа в EXCEL (учащиеся за компьютером выполняют указания учителя)

Целью решения транспортной задачи является нахождение плана грузоперевозок, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.

Пусть задана классическая транспортная задача с тремя поставщиками и пятью потребителями.

Оформим лист Excel’я следующим образом: смотреть рисунок 1.

Рисунок 1

В ячейки (B4:F6) заносится матрица цен, далее в ячейки (B11:F13) помещаются любые значения больше нуля. В ячейках (G11:G13), вычисляются суммы ячеек (B11:F11; B12:F12; B13:F13) соответственно. В (B14:F14), вычисляются суммы ячеек (B11:B13; C11:C13; D11:D13; E11:E13; F11:F13) соответственно. В ячейку F16 записывается следующая формула: «=СУММПРОИЗВ (B11:F13;B4:F6)», вычисляющая произведение соответствующих элементов массивов, а затем суммирует получившиеся значения.

Далее выделив ячейки (B11:F13) вызываем формат ячеек и в закладке <Число>, выставляем число десятичных знаков равным нулю.

Оформим окно поиска решений следующим образом:

Установить целевую ячейку F16

Равной: Минимальному значению

Изменяя ячейки: B11:F13

Ограничения: B11:F13 >= 0 B14 = 100 C14 = 130 D14 = 80 E14 = 190 F14 = 100

G11 = 200 G12 = 175 G13 = 225

Нажимаем кнопку: <Выполнить> После нажатия кнопки лист Excel’я должен выглядеть следующим образом:

Итак из ячейки F16 мы видим, что минимальные затраты на перевозку составляют: 1610 ед. А в ячейках (B11:F13) был получен план грузоперевозок.

Задания для самостоятельного решения:

Надстройка MS Excel <Поиск решений> позволяет решать широкий круг задач на оптимизацию. <Поиск решений> в Excel позволяет в считанные секунды находить оптимальные решения достаточно сложных моделей, кстати, не только линейных, без знания алгоритмов и длительных рутинных итерраций.

Например, ещё одна из них.

Издательский дом «Геоцентр-Медиа» издаст два журнала: «Автомеханик» и «Инструмент», которые печатаются в трех типографиях: «Алмаз-Пресс», «Карелия-Принт» и «Hansaprint» (Финляндия), где общее количество часов, отведенное для печати и производительность печати одной тысячи экземпляров ограничены и представлены в следующей таблице:

Спрос на журнал «Автомеханик» составляет 12 тысяч экземпляров, а на журнал «Инструмент» -не более 7,5 тысячи в месяц.

Определите оптимальное количество издаваемых журналов, которое обеспечит максимально выручку от продажи.

Давайте разберемся, что здесь является переменными, что целевой функцией, что ограничениями.

Найти нам необходимо оптимальное количество издаваемых журналов каждого вида. А издавать их можно в трех типографиях на разных условиях. Вот и получается, что нам необходимо определить размер тиража каждого журнала напечатанного в каждой типографии. Это и будут наши переменные.

По какому принципу их подбирать, что считать эффективным, что нет. Перед нами поставлена задача получить максимальную выручку. Таким образом, цель — максимальная выручка.

Теперь ограничения. В условиях сказано, что каждая типография может выделить на наш тираж только определенное время. Длительность печати тысячи единиц тиража каждого журнала каждой типографией известна.

Таким образом, произведение объема тиража на длительность печати тысячи единиц для каждой типографии не может быть больше заданного количества времени.

Еще одно важное ограничение, о котором обычно забывают — переменные должны быть неотрицательными.

Попытаемся представить модель в Excel.

Переменные, то есть объем тиража, находятся в ячейках B10:C12. Целевая функция — в ячейке D13. Обратите внимание, целевая функция построена формулой, ссылаясь на ячейки с переменными и исходные данные (стоимость единицы тиража).

Также формулами подсчитывается фактическое время печати тиража в каждой из типографий (ячейки E3:E5).

Все готово, приступаем решению задачи с помощью надстройки. Включается она через меню <Сервис - Поиск решений>. Если такого пункта меню нет, войдите в меню < Сервис – Надстройки> и отметьте галочкой соответствующую надстройку. Может понадобиться установочный комплект Office.

Перед Вами появится следующий диалог: смотри рисунок 2

Рисунок 2

Здесь указываем адрес целевой ячейки, отмечаем, что ее нужно привести к максимальному значению, изменяя ячейки $B$10:$C$12. Диапазоны можно указывать мышью — станьте в нужное поле диалога и выделите на листе нужные ячейки. Адрес автоматически попадет в диалог.

Добавляем ограничения. После нажатия кнопки <Добавить> появляется диалог: смотри рисунок 3

Рисунок 3

Вспоминаем. У нас фактическое время печати тиража в каждой типографии не может превышать заданного лимита.

Для Алмаз-Пресс ограничение будет таким E3 <= D3. В ячейке E3 должна быть формула суммы продолжительности печати тиража первого и второго журналов в этой типографии, полученной перемножением тиража на норму времени.

Думаю, понятно, как ввести в диалог описанное ограничение.

Если нажать <Ок>, ограничение будет добавлено, а диалог закроется. Чтобы несколько раз не открывать диалог, сделана кнопка <Добавить>. Ограничение сохраняется, а диалог очищается для добавления следующего ограничения. Аналогично добавляем ограничения для оставшихся типографий.

Ограничения неотрицательности можно также задать с помощью этого диалога — для каждой ячейки с объемом тиража установить ограничение >=0.

Но учитывая, что такие ограничения встречаются в задачах на оптимизацию слишком часто, разработчики надстройки предусмотрели возможность быстрой установки ограничения неотрицательности для всех переменных модели. Нажимаем , возвращаемся в первый диалог и нажимаем кнопку< Параметры>.

Здесь достаточно отметить галочку «Неотрицательные значения».

Все модель готова к расчету: смотри рисунок 4

Рисунок 4

Нажимаем <Выполнить>. Через пару секунд Вы будете иметь оптимальное решение. Теперь выберите «Сохранить решение» и нажмите . Можете проверить решение, пробуя подставлять другие значения тиража, перераспределяя тираж между типографиями. Вряд ли Вам удастся улучшить результат.

Конечно, результат не стопроцентный. Бывают слишком сложные модели, модели совсем не имеющие решений (модели с несходимыми ограничениями). Кроме того, если Вы обратили внимание, в параметрах модели можно задать максимальное время решения, число итерраций, точность и другие установки. Но это для профессионалов. Что радует, все настройки модели (целевая ячейка, область переменных, ограничения, параметры) сохраняются в книге и при изменении исходных данных их не нужно вводить заново. Достаточно открыть надстройку и запустить повторный поиск решения.

V) Итоги урока. Выставление оценок и вывод: Познакомились с решением транспортных задач. Решили задачу арифметическим способом, а также использовали интернет-ресурсы для реализации поставленных целей и задач на урок. Сегодня такая проблема актуальна в работе менеджеров по закупе товара и при организации транспортировки к месту продаж, а также в других областях(задача о тираже печатного издания). Для учащихся школ решение таких задач входит в контрольно-измерительные материалы ГИА и ЕГЭ.

IV) Домашнее задание. Составить задачу для трёх поставщиков и трёх потребителей товара . Найти оптимальные затраты на доставку товара к потребителю.

Список информационных ресурсов

  1. WWW.RESHMAT.RU-решение транспортных задач в онлайн —http://www.reshmat.ru/transport.html?c11=4&c12=6&z1=10&c21=3&c22=7&z2=10&b1=7&b2=13&method=MinElement&comments=With_%D1omments&step=2&sizeA=2&sizeB=2&Cod_Without_Money=&cod=
  2. http://www.exponenta.ru/educat/systemat/kapustin/004.asp — образовательный математический сайт.
  3. http://www.math-pr.com/exampl_tzd.html — решение задач и примеров online

Write a Reply or Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *